1.证券价格遵守漂移参数0.05，动摇参数0.3的几许布朗运动，其时价格为95，利率是4%假定有种

后答案上默以为这个概率等于P［ln(S(0.5)／

2.平价联系式中能够说一种财物是什么

在20世纪70年代初，费希尔·布莱克(Fisherblack)、迈伦·斯科尔斯(MyronScholes)和罗伯特·默顿(RobertMerton)在对欧式股票期权定价研讨方面取得了严重的理论打破，提出了针对欧式期权定价的模型，该模型被称为布莱克-斯科尔斯-默顿模型(简称BSM模型)。

模型假定：

在推导出布莱克斯科尔斯-默顿模型时，有以下7个假定前提条件：

一是假定根底财物的股票价格遵守几许布朗进程；二是能够卖空证券，而且能够彻底运用卖空所取得的资金；三是无买卖费用和无税收，一切证券均可无限切割；四是在期权期限内，根底财物无期间收入(比方股票不付出股息)；五是商场不存在无危险套利时机；六是证券买卖是接连进行的；七是短期无危险利率是一个常数，并对一切期限都是相同的。

微分方程：

此外，模型在推导进程中运用到了一个很重要的微分方程，详细便是

微分方程

其间，式子中的f表明看涨期权价格，S表明期权根底财物的价格，r为接连复利的无危险收益率，σ为根底财物价格百分比改变(收益率)的动摇率，t是时刻变量。

定价公式：

欧式看涨期权的定价公式

看涨期权定价公式

经过看涨-看跌平价联系式，能够得到看跌期权的定价公式：

看跌期权定价公式

其间：

d的核算

c与p别离代表欧式看涨、看跌期权的价格，S0是根底财物在初始0时刻的价格，K是期权的履行价格，r是接连复利的无危险收益率，σ为根底财物价格百分比改变(收益率)的年化动摇率，T是期权合约的期限(单位是年)，N()表明累积规范正态散布的概率密度。

代码完结依据布莱克-斯科尔斯-默顿模型核算欧式看涨期权、看跌期权定价的函数：

import numpy as np

from scipy.stats import norm

def call_BS(S,K,sigma,r,T):

    '''用bs模型核算欧式看涨期权价格

    S 期权根底财物价格

    K 期权履行价格

    sigma 根底财物价格百分比改变（收益率）的年化动摇率

    r 无危险收益率

    T 期权合约剩下年携辩限

    '''

    d1 = (np.log(S/K) + (r + pow(sigma,2)/2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))

    d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)

    return S*norm.cdf(d1) - K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(d2)

def put_BS(S,K,sigma,r,T):

    '''用bs模型核算欧式看跌期权价格

    S 期权根底财物价格

    K 期权履行价格

    sigma 根底财物价格百分比改变（收益率）的年化动摇率

    r 无危险收益率

    T 期权合约剩下年限

    '''

    d1 = (np.log(S/K) + (r + pow(sigma,2)/2)*T) / (sigma*np.sqrt(T))

    d2 = d1 - sigma*np.sqrt(T)

    return K*np.exp(-r*T)*norm.cdf(-d2) - S*norm.cdf(-d1)

比如：

一份期限为6个月的股票期权，期权的根底财物是工商银行的A股股票,2018年12月28日股票收盘价是5.29元/股，期权的履行价格为6元股，无危险利率为年化4%，股票收益率的年化动摇率是24%，运用布莱克斯科尔斯-默顿模型核算看涨期权看跌期权的价格。

call_BS(S=5.29, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=0.5)

put_BS(S=5.29, K=6, sigma=0.24, r=0.04, T=0.5)

二、看涨-看跌期权平价联系式

具有相同履行价格与期限的欧式看跌期权、看涨期权在价格上有一个重要联系式。

1.两个出资组合

首要，考虑以下两个投辩瞎缺资组合在期权合约到期时的盈亏状况。A出资组合：一份欧式看涨期权和一份在T时刻到期的本金为K的零息债券；B出资组合：一份欧式看跌期权神升和一份根底财物。这儿需求假定看涨期权与看跌期权具有相同的履行价格K与相同的合约期限T。

关于A出资组合而言，零息债券在期权合约到期日(T时刻)的价值显然是等于K，而关于看涨期权则分两种景象评论。

景象1：如果在T时刻，根底财物价格St>K，A出资组合中的欧式看涨期权将被履行，此刻，A出资组合的价值是(St-K)+K=St；

景象2：如果在T时刻，根底财物价格St<K，A出资组合中的欧式看涨期权就没有价值，此刻A出资组合的价值为K。

关于B出资组合而言，也分两种景象评论。

景象1：如果在T时刻，根底财物价格St>K，此刻，B出资组合中的欧式看跌期权没有价值，此刻，B出资组合价值为St，也便是仅剩下根底财物的价值；

景象2：如果在T时刻，根底财物价格St<K，此刻，B出资组合中的欧式看跌期权会被行使，此刻B出资组合价值为(K-St)+St=K。归纳以上的剖析，当St>K时，在T时刻两个出资组合的价值均为St；当St<K时在T时刻两个出资组合的价值均为K。换而言之，在T时刻(期权合约到期时)，两个出资组合的价值均为max(St,K)

因为A出资组合与B出资组合中的期权均为欧式期权，在期权到期之前均不能行使，已然两个出资组合在T时刻均有相同的收益，在期权合约的存续期内也应该有相同的价值。不然，就会呈现无危险套利时机，套利者能够买入价格低的出资组合，与此一起卖空价格高的出资组合进行无危险的套利，无危险套利收益便是等于两个组合价值的差额。

2.笼统的数学表达式

看涨期权+零息债券价格=看跌期权+根底财物价格

平价一致

代码完结：

def call_parity(p,S,K,r,T):

    '''经过平价联系式用看跌期权价格核算欧式看涨期权价格。

   p：欧式看跌期权价格

   S：期权根底财物价格

   K：履行价格

   r：无危险收益率

   T：合约剩下期限    

    '''

    return p + S - K * np.exp(-r * T)

def put_parity(c,S,K,r,T):

    '''经过平价联系式，用看涨期权价格核算欧式看跌期权价格。

   c：欧式看涨期权价格

   S：期权根底财物价格

   K：履行价格

   r：无危险收益率

   T：合约剩下期限    

    '''

    return c + K * np.exp(-r * T) - S

比如：

假定其时股票价格为20元股，期权的履行价格为18元/股，无危险收益率为每年5%,3个月的欧式看涨期权价格对外报价是2.3元,3个月的欧式看跌期权对外报价是0.3元，期权价格是否合理？

call_parity(p=0.3, S=20, K=18, r=0.05, T=0.25)

==>2.523599591110134

put_parity(c=2.3, S=20, K=18, r=0.05, T=0.25)

==>0.07640040888986732

经过核算，看涨期权被轻视，看跌期权则被高估，因而能够经过持有看涨期权的多头头寸并买入零息债券(相当于买入A出资组合)，一起持有看跌期权的空头头寸并卖空根底财物（相当于卖空B出资组合），然后完结无危险套利。

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